Download PDF by N. Bourbaki: Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540344926

ISBN-13: 9783540344926

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce dixième chapitre du Livre d Algèbre, deuxième Livre du traité, pose les bases du calcul homologique.

Ce quantity est a été publié en 1980.

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Example text

Soient C , C', D, D' quatre complexes, f : C + C', g : C -+ C', u : D + C , v : C' -+ D' quatre morphismes. Si s est une homotopie reliant f à g, alors t. O s O u est une homotopie reliant v o f o u à v o g o u. Si f et g sont homotopes, v o f o u et v o g 0 u le sont aussi. C'est clair. COROLLAIRE. , Cf, f , et g , deux morphismes de C' dans C". Si s et s, sont des homotopies reliant f à g et f , à g, respectivement, alors s , 0 f g , 0 s est une homotopie reliant f , o f à gl 0 g. S i f et f , sont homotopes à g et g , respectivement, alors f , 0 f est homotope à g , 0 g.

40, exemple 1). , 9. Complexes de modules a droite, complexes de multimodules Un complexe de A-modules à droite est un A-module à droite gradué (M,,),.. muni d'un endomorphisme d gradué de degré - 1 et de carré nul; c'est donc un complexe de modules sur l'anneau A opposé à A. Toutes les définitions et propriétés énoncées dans les numéros précédents s'appliquent donc sux complexes de modules à droite considérés comme complexes de modules sur i'anneau A". De même, si A et B sont deux anneaux, un complexe de (A, B)-bimodules est un (A, B)-bimodule gradué M muni d'un endomorphisn~ed gradué de degré (- 1) et de carré nul ; si on munit M de sa structure canonique de A Qz Bc-module à gauche, d le munit d'une structure de A Qz B--complexe.

L'image de ({O) x X,,) v ((O, 1) x X,_ ,) u Y, (resp. de { s } v ((O. 1) x X , _ , ) u Y,, si ti > 0). Notons T(X), T(Y), T(Cy1 (f )), T(Con (f)) les complexes associésà ces décompositions cellulaires. Le complexe ï ( s ) associé à l'espace { s } muni de son unique décomposition cellulaire est réduit au module A et s'identifie à un sous-complexe de ï(Con ( f ) ) ; notons ï(Con (f), s) le complexe quotient. L'application f définit un morphisme de complexes ï(f ) : ï ( X ) + ï(Y), et on peut montrer que les complexes ï(Cy1 (f)) et ï(Con (f), s) s'identifient respectivement à Cyl ( ï ( f ) ) f)).

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Algèbre: Chapitre 10. Algèbre homologique by N. Bourbaki


by Ronald
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