Algebraische Strukturen [Lecture notes] by Susanne Danz PDF

By Susanne Danz

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Ist x ∈ R× , so ist (p, a) = (x) = R. Insbesondere existieren u, v ∈ R mit 1 = ua + pv, also auch b = uab + pvb. 3(d). Ist y ∈ R× , so ist x = py −1 . h. p | a. 13 Beispiele (a) In Z gilt: p ∈ R Primelement ⇔ p irreduzibel ⇔ |p| Primzahl. (b) I. A. sind Elemente keine Primelemente. Dazu betrachten wir√den unit¨aren Teilring √ irreduzible √ R := Z + Z · −5 = {a + b −5 | a, b ∈ Z} von C. Wir zeigen, dass p := 2 + −5 in R irreduzibel aber nicht prim ist. Wir betrachten die Abbildung N : R → N0 , r → |r|2 = r · r¯, wobei |r| den komplexen √ Absolutbetrag von r und r¯ die zu r konjugiert komplexe Zahl bezeichnen.

Wir betrachten die Abbildung N : R → N0 , r → |r|2 = r · r¯, wobei |r| den komplexen √ Absolutbetrag von r und r¯ die zu r konjugiert komplexe Zahl bezeichnen. Ist r = a + b −5 mit a, b ∈ Z, so ist also N (r) = a2 + 5b2 . Außerdem gilt N (rs) = N (r)N (s) f¨ur alle r, s ∈ R. Ist u ∈ R× , so gilt 1√= N (1) = N (u · u−1 ) = N (u)N (u−1 ). Wegen N (u) ∈ N folgt N (u) = 1. Schreiben wir u = a + b −5 mit a, b ∈ Z, so ist 1 = a2 + 5b2 . Das impliziert b = 0 und a ∈ {1, −1}. Somit ist R× = {1, −1}. Insbesondere ist 0 = p ∈ R R× .

14 Satz (Zweiter Isomorphiesatz fur Abbildung J → J/I ist eine Bijektion zwischen der Menge der Ideale von R, die I enthalten, und der Menge der Ideale von R/I. Dabei hat man folgenden Ringisomorphismus (R/I)/(J/I) ∼ = R/J . 33 Beweis. Wir betrachten wieder den kanonischen Epimorphismus ν : R → R/I. Ist J ein Ideal von R mit I ⊆ J, so ist ν(J) = J/I ein Ideal von R/I, denn f¨ur r ∈ R und x ∈ J ist (r + I)(x + I) = rx + I ∈ J/I und (x + I)(r + I) = xr + I ∈ J/I . Ist umgekehrt K ein Ideal von R/I, so ist (K, +) auch eine Untergruppe von (R/I, +).

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by Richard
4.1

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